マンデルブロ集合とは

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※このページは、高校数学の知識を前提に記述しています。

定義

マンデルブロ集合とは、次の定義で表される複素平面上の点の集まり(集合)のことです。

zk+1 = zkn + C
という漸化式をくり返し計算したときに、zkが発散しない複素数Cの集合

漸化式の計算を始めるためのz0の値は、通常0ですが、この値を変えると集合の形に変化が表れます。また、漸化式の中の指数nは、2の場合を一般的にマンデルブロ集合といいますが、この値も変更すると面白いことになります。この話については、後の章で述べることにして、今はまずz0 = 0n = 2とします。つまり、

zk+1 = zk2 + C
z0 = 0
という漸化式をくり返し計算したときに、zkが発散しない複素数Cの集合

が基本のマンデルブロ集合です。

具体的に考えてみましょう。例えばC = -1がマンデルブロ集合に属するかどうかを調べてみると、

z1 = 02 + (-1) = -1
z2 = (-1)2 + (-1) = 0
z3 = 02 + (-1) = -1
  :

となり、-1と0の振動状態になります。つまり、zkk→∞のとき発散しません。よって、C = -1マンデルブロ集合に属す点となります。

では、C = -1 + iではどうかというと、

z1 = 02 + (-1 + i) = -1 + i
z2 = (-1 + i)2 + (-1 + i) = -1 - i
z3 = (-1 - i)2 + (-1 + i) = -1 + 3i
z4 = (-1 + 3i)2 + (-1 + i) = -9 - 5i
  :

となり、どんどん絶対値が大きくなっていくように見えます。したがって、zkk→∞のとき発散してしまい、C = -1 + iマンデルブロ集合に属さない点となります。

以上のようにして決まるマンデルブロ集合に属す点を黒色、マンデルブロ集合に属さない点を青色にそれぞれ着色してみると、次の図のようになります。

原点を中心に描いたマンデルブロ集合
図2.1 原点を中心に描いたマンデルブロ集合。黒い部分の点をCとして選ぶと、漸化式は永遠に発散せず、青い部分の点をCとして選ぶと、漸化式はいずれ発散する。

実は、|C| > 2の点は必ず発散します(n = 2の場合)。なぜなら、|C| > 2の場合、

z1 = C
|z12| = |C2| = |C|2 > 2|C|

であるため、

|z2| = |z12 + C| ≥ |z12| - |C| > 2|C| - |C| = |C| = |z1|
|z3| = |z22 + C| ≥ |z22| - |C| > |z2|2 - |z2| > |z2|(|z2| - 1) > |z2|
|z4| = |z32 + C| ≥ |z32| - |C| > |z3|2 - |z3| > |z3|(|z3| - 1) > |z3|
  :

となり、どんどん絶対値が大きくなっていってしまうためです。また、これにより、くり返し計算の途中で|zk| > 2となると必ず発散することも分かります。なぜなら、|zk| > 2の場合、

|zk2| = |zk|2 > 2|zk|

であるため、

|zk+1| = |zk2 + C| ≥ |zk2| - |C| > 2|zk| - |C|

となり、|C| > |zk| > 2でない限り、|zk+1| > |zk|となってしまうからです。

ジュリア集合

マンデルブロ集合の定義では、z0を0と固定し、Cをいろいろ変えたときに漸化式がどうなるかを考えますが、逆に、Cをある値に固定し、z0をいろいろ変えたときに漸化式がどうなるかを考えたものをジュリア集合と言います。マンデルブロ集合とは形の違う、こちらもフラクタルな図形が現れます。もともとジュリア集合を考察していた過程で、後からマンデルブロ集合が発見されたそうです。

このサイトでは、ジュリア集合については紹介していません。

フラクタル性

マンデルブロ集合はフラクタル図形です。どんなに拡大しても決して平坦な線が現れることはなく、自身と似たような形があちこちに現れます。しかし、マンデルブロ集合は、他の自己相似なフラクタル図形と異なり、完璧に同じ形のものは一つも無く、全て微妙に異なっているそうです。

マンデルブロ集合の遠景を見ると、周囲にちぎれた飛び地ような部分が見られますが、実はこれらは全て超細い線でつながっていることが証明されているそうです。また、拡大すると、渦巻きだったり、放射状に伸びていたり、実に複雑な形が見られますが、集合には穴が開いたりしていることもありません。つまり、信じがたいですが、トポロジー的にはただの円と同じなのです。

また、マンデルブロ集合を囲む境界線の長さは無限大です。つまり、マンデルブロ集合の境界線を歩いて一周しようと思ったら、有限の時間では不可能なのです。スタート地点から永遠に1歩目を踏み出せないのです。

このような複雑な形状ゆえ、マンデルブロ集合の境界付近は、極めてカオス的です。ほんのわずかに座標が異なるだけで、漸化式のくり返し計算は全く違った挙動となります。

例えば、次の2つのグラフは、-1.5-1.5 + 0.00000001iというほんのわずかに異なる2点について、漸化式の挙動を調べたものです。横軸が計算回数k、縦軸がzkの絶対値ですが、前者はいつまでも発散せず(=マンデルブロ集合に属する)、後者は途中で大きく発散(=マンデルブロ集合に属さない)してしまっています。ほんのわずかな違いが将来の運命を大きく変えるのです。

C = -1.5の場合の漸化式の挙動

C = -1.5 + 0.00000001iの場合の漸化式の挙動
図2.2 (上)C = -1.5の場合の漸化式の挙動、(下)C = -1.5 + 0.00000001iの場合の漸化式の挙動。横軸が計算回数k、縦軸がzkの絶対値である。

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