複素数に対する根号

極形式での定義

複素数zに対して、その偏角をθ、絶対値をrとします。偏角は-π < θ ≤ πとします。

$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ … (式2)

いわゆる複素数の極形式です。ここで、√{z}とは、一般に次のように定義されています。

$\sqrt{z}=\sqrt{r}\left(\cos{\frac{\theta}{2}}+i\sin{\frac{\theta}{2}}\right)$ … (式3)

-π/2 < θ/2 ≤ π/2ですから、√{z}の実部は必ず0か正であることが分かります。また、-π < θ < πではθとsinθの符号が一致するため、zと√{z}の虚部は符号が等しいことも分かります。θ = π、すなわちzが負の実数の場合は、θ/2 = π/2なので、虚部は正となります。まとめると、表1の通りとなります。

表1-根号による実部と虚部の正負の変化
zの実部	zの虚部	zの偏角	√{z}の実部	√{z}の虚部	√{z}の偏角
+	+	(0, π/2)	+	+	(0, π/4)
-	+	(π/2, π)	+	+	(π/4, π/2)
0	+	π/2	+	+	π/4
+	-	(-π/2, 0)	+ ※	- ※	(-π/4, 0)
-	-	(-π, -π/2)	+ ※	- ※	(-π/2, -π/4)
0	-	-π/2	+ ※	- ※	-π/4
+	0	0	+	0	0
-	0	π	0	+	π/2
0	0	0	0	0	0

ちなみに、もし偏角を0 ≤ θ < 2πで定義した場合は、0 ≤ θ/2 < πより、√{z}の虚部が必ず0か正となります。一方、√{z}の実部は、zの虚部と符号が一致することになります。これらは、表1の※の部分の正負が逆転することになります。

以降は紛らわしいので、-π < θ ≤ πの場合で考えるものとします。

直交形式での定義

極形式での定義は分かりやすく簡単なものでしたが、通常の直交形式ではどうなるでしょうか。

今a、b、c、dを実数として、

$\sqrt{a+bi}=c+di$ … (式4)

としたとき、cとdをaとbおよび正の実数に対する根号の定義だけで表してみます。表1より、c ≥ 0であり、またb ≠ 0の場合は、bとdの符号が等しいはずです。

まず、両辺を2乗して実部と虚部をそれぞれ比較すると、

$\hspace{-5mm} a+bi=(c^2-d^2)+2cdi \vspace{2mm} \\ \begin{cases}a&=c^2-d^2 \\ b&=2cd\end{cases}$ … (式5)

を得ます。ここで、bの正負によって場合分けをします。

b = 0の場合

b = 0の場合、b = 2cdより、cとdのいずれかまたは両方が0のはずです。これは通常の実数に対する根号の定義です。 cとdは定義よりいずれも実数なので、c^2、d^2ともに0以上ですから、aの正負によって次のようになります。a < 0のとき、-aは正の実数となることに注意して下さい。

$\begin{cases} c=\sqrt{a},\hspace{1mm}d=0 &(a>0) \\ c=0,\hspace{1mm}d=\sqrt{-a} &(a<0) \\ c=0,\hspace{1mm}d=0 &(a=0) \end{cases}$ … (式6)

b > 0の場合

b > 0の場合、b = 2cdより、cとdはいずれも0ではなく、かつ符号が等しいはずです。d = b / 2cより、

$\begin{align*} a&=c^2-\frac{b^2}{4c^2} \\ c^4-ac^2-\frac{b^2}{4}&=0 \end{align*}$ … (式7)

となるので、c^2に関する二次方程式として解くと、

$\begin{align*} c^2&=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\hspace{4mm}(c^2\ge0) \\ d^2&=c^2-a \\ &=\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2} \end{align*}$ … (式8)

を得ます。表1より、c、dともに正ですので、結局、

$\begin{align*} c&=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\ d&=\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \end{align*}$ … (式9)

となります。この定義は、a < 0のとき√{a^2} = -aとなることなどに注意すれば、先のb = 0の場合の結果にも当てはめることができます。

b < 0の場合

b = 2cdより、cとdはいずれも0ではなく、かつ符号が異なるはずです。

b > 0の場合と同様にして、

$\begin{align*} c^2&=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2} \\ d^2&=\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2} \end{align*}$ … (式10)

を得ますが、表1より、cは正、dは負となるので、

$\begin{align*} c&=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\ d&=-\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} \end{align*}$ … (式11)

となります。

以上を全てまとめると、以下のようになります。

$\sqrt{a+bi}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}+k\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\cdot i\hspace{5mm}\left(k=\begin{cases}1&(b\ge0) \\ -1&(b<0)\end{cases}\right)$ … (式12)

上式右辺の根号の中身は、全て0か正の実数になります。特にb = 0の場合は、一般の実数に対する根号の定義として、

$\sqrt{a}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2}}{2}}+\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2}}{2}}\cdot i$ … (式13)

を得ます。

概要

極形式での定義

直交形式での定義

b = 0の場合

b > 0の場合

b < 0の場合

更新履歴